Điều kiện cần để hàm z= f(x1, x2,..., xn) có cực trị là dz = f1 dx1 + f2 dx2 +... + fn dxn = 0[3].

dz = 0 khi và chỉ khi f1 dx1 = f2 dx2 =... = fn dxn = 0

d2z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

H = [ f 11 f 12 ⋯ f 1 n f 21 f 22 ⋯ f 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f n 1 f n 2 ⋯ f n n ] . {\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}&f_{n2}&\cdots &f_{nn}\end{bmatrix}}.}

Từ ma trận H có các ma trận con H 1 = [ f 11 ] {\displaystyle \mathbf {H_{1}} ={\begin{bmatrix}f_{11}\end{bmatrix}}} , H 2 = [ f 11 f 12 f 21 f 22 ] {\displaystyle \mathbf {H_{2}} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{bmatrix}}} ,..., H n = [ f 11 f 12 ⋯ f 1 n f 21 f 22 ⋯ f 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f n 1 f n 2 ⋯ f n n ] {\displaystyle \mathbf {H_{n}} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}&f_{n2}&\cdots &f_{nn}\end{bmatrix}}} .

Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H1) < 0, det(H2) > 0, det(H3) < 0,..., (-1)n det(Hn) > 0[3]

Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H1), det(H2), det(H3),..., det(Hn) > 0[3]